Здравствуйте.
У меня тоже проблема с lcd 2004 c I2C модулем. Имеются ESP8266 ESP-01 с PRO прошивками разных версий.
При старой прошивке, через некоторое время после включения, экран перестает отображать информацию. Исправляется перезапуском модуля ESP по питанию или в настройках LCD отключением, а затем включением экрана.
При новой прошивке с NTP сервером, если не включать вайфай роутер (мобильный хуавей), то все работает стабильно. Если включить роутер, то через некоторое время экран показывает кракозябры и, опять, перестает отображать информацию. Помогает тоже самое, что и в первом случае, но опять не на долго.
Если включить модуль при рабочем вайфае, то экран проработает некоторое время и опять отключится.
Проверялось на 2х модулях ESP с разными прошивками, результат одинаковый.
Стал грешить на длину проводов до экрана. Укоротил до 5 см, не помогло.
Что я не так делаю?

Возможно недостаточно питание. Так же экран должен питаться не от 3.3в, а от 5в

Забыл написать. Экран питается от кренки, 5в.

У ESP-01 выводы имеют двойное назначение(UART0 и UART1) и на них могут левые данные от SDK, хотя все это и отключено..

На каких именно выводах настроен I2C ? А если их поменять на другие

Подключено как на вашей схеме. SCL-GPIO0, SDA-GPIO2. А как поменять на другие? Тут I2C GPIO Selected ?

Да, меняются там, хотя странно, у меня на них работало идеально..

Может резисторы не установлены подтягивающие по шине I2C ?